Marco Benini Male, 41. Milano, Italy

La teoria dei topoi è la parte della Matematica che si occupa dello studio di questi affascinanti oggetti. Al di là delle definizioni tecniche, un topos è un universo del discorso in cui poter sviluppare una teoria coerente. Infatti è dotato di una logica , che permette di ragionare al suo interno, e di un concetto di insieme, che permette di rappresentare collezioni di oggetti. In un certo senso è assimilabile ad una monade di Liebnitz: un universo completo in se stesso che è auto-costruito.

Il libro di Goldblatt è una introduzione allo studio di questi oggetti. La sua caratteristica positiva è l'accessibilità anche da parte di non esperti (beh, una buona conoscenza della matematica è comunque necessaria), cercando di postporre il più a lungo possibile gli aspetti più criptici: ad esempio le descrizioni funtoriali, molto compatte e dense, ma anche di difficile lettura senza un adeguato allenamento, non compaiono se non dopo la metà del libro.
D'altro canto, il prezzo da pagare per avere una presentazione "semplice" è non poter usare i concetti nella loro piena generalità ed astrazione, perdendo molto dello spirito della teoria.
A mio avviso, si tratta di un buon testo, che compendia manuali ben più completi e rigorosi. Da leggere solo se seriamente interessati e, nel caso, accompagnando la lettura con "Categories for the Working Mathematician" e "Sheaves in Geometry and Logic". Se la cosa serve davvero, è indispensabile avere accesso a "Sketches of an Elephant", che tuttavia è illegibile: un riferimento eccellente a patto di sapere già le cose che si cercano.

Il libro illustra i risultati ottenuti nella mia tesi di dottorato e poi rivisti ed estesi per un corso tenuto presso il dottorato di ricerca del dipartimento di Matematica dell'Università di Monaco, in Germania. Come è facilmente immaginabile, è un testo dedicato a specialisti.

Ovviamente, il voto è puramente un premio che mi auto-elargisco per il lavoro tipografico che pubblicare un libro comporta.
A questo proposito, segnalo la positivissima esperienza con Lulu.com che offre un servizio totalmente online, economico ma decisamente professionale, sia come risultati che come supporto.

Il libro racconta la storia dell'algebra, dai primordi nella antica Mesopotamia, fino alla prima metà del ventesimo secolo, con una coda (parziale) sulla seconda metà.

Ben scritto, divertente anche per l'ironia molto britannica di certi commenti dell'autore, ricco di aneddoti e abbastanza preciso negli inevitabili contenuti tecnici, risulta ben godibile e abbastanza comprensibile nella maggior parte dei passaggi. Inoltre, punto di grande favore, il libro non è incentrato su Abel e Galois, la cui vita, indubbiamente romantica, è sempre stata punto focale di quasi tutte le opere popolari di storia della matematica.

La parte finale è la meno riuscita e toglie una stellina per un libro altrimenti ottimo: l'algebra del ventesimo secolo è trattata con una evidente difficoltà. Accanto alla vita (interessante) di figure come Alexander Grothendieck, la sua opera come matematico è resa senza la possibilità per il lettore di capirne l'apporto culturale. La teoria delle categorie, che costituisce la chiave per comprendere le più recenti tecniche e gli sviluppi concettuali dell'algebra nel ventunesimo secolo, è trattata con un taglio filosofico-fondazionista che non permette di scorgere il suo interesse come strumento di pensiero.
Il peccato è che si possono trattare questi argomenti in un modo che li renda comprensibili, o almeno, che permetta di capirne i concetti di base...

Nonostante il titolo, non si tratta di un libro elementare, anche per gli "iniziati" alla materia. Infatti, la teoria dei topoi è uno degli argomenti di matematica più avanzati che si possano trovare nello sviluppo della seconda metà del ventesimo secolo.

Il libro, introduttivo, a modo suo, cerca di chiarire i concetti e introduce i principali teoremi che formano la base per lo studio dei topoi. In forma "intuitiva", un topos è una teoria matematica abbastanza ricca da possedere una logica e un concetto di insieme ragionevoli, quindi è in grado di esprimere, al proprio interno, gran parte delle asserzioni che formano il corpus della logica matematica. Poi, il fatto che un insieme nel senso del topos possa avere poco a che vedere con il concetto usuale, è parte dell'interesse di questa teoria.

Alla prima lettura, ho trovato illuminante l'idea che stava dietro, iniziando a capire il motivo profondo di certi sviluppi sconcertanti della matematica degli anni '80. La seconda lettura è servita per impadronirmi delle tecniche e degli strumenti che la teoria mette a disposizione: non ci sono ancora del tutto, ma, per questo scopo, altri libri sono migliori.

Il Rudin è un testo classico di analisi matematica. Parte dai fondamenti, i numeri reali e complessi, definisce i concetti base di topologia, spazi metrici e compattezza in particolare, e quindi parte dalle sequenze numeriche e dalle serie, definendo il concetto di limite. Introdotta la continuità, definisce derivate e integrali di Riemann e serie di funzioni. Un paio di capitoli sono dedicati alle funzioni in più variabili, con relativa teoria dell'integrazione e derivazione, per concludere con il concetto di misura di Lebesgue e relativi integrale generalizzato.

Come si vede, l'argomento corrisponde ad un classico corso universitario di Analisi matematica; ciò che rende speciale il libro di Rudin è la sua concisione. Senza mai perdersi in giri di parole, in tentativi di fornire l'intuizione in modo visivo, affronta gli argomenti in modo diretto e rigoroso, introducendo gli esempi motivanti, senza fronzoli.

Per le sue caratteristiche è il libro perfetto per studiare analisi matematica quando si è capita: estremamente asciutto contiene tutto ciò che serve, ben organizzato e di facile consultazione. Ideale come riferimento, le sue dimensioni molto contenute (sono meno di 350 pagine) lo rendono perfetto come strumento di lavoro per chi, come me, ha bisogno della teoria dell'analisi, ma non la usa quotidianamente e quindi non si ricorda sempre tutti i dettagli.

Il libro si propone di spiegare l'arte di risolvere i problemi matematici. Indubbiamente sensato come scopo, il "metodo" che viene presentato è razionale, ma non credo sia utile per chi non conosca già.

In un certo modo, l'approccio perseguito è troppo elementare per assaporare problemi "difficili". Gli esempi portati sono di geometria di base o di algebra liceale, molto lontani dalla realtà della matematica "vera".
Più adatto per un insegnante che per uno studente, il libro è sicuramente inadeguato per chi vuole capire come si possa affrontare un dilemma matematico nell'ambito della ricerca scientifica.

Si tratta di un testo di analisi matematica elementare. Parte dai fondamenti e segue un percorso classico, senza sorprese. La struttura è quella per un buon corso undergraduate di introduzione alla matematica per un corso di laurea scientifico in una università americana.

La cosa interessante del libro è il forte accento sulle applicazioni: moltissimi esempi illustrano ogni concetto, rendendo chiaro il senso delle definizioni, dei teoremi e delle tecniche. Alcuni esempi sono problemi famosi, sia di carattere storico che tecnico, permettendo un ulteriore approfondimento.
Volutamente, il libro non fornisce una trattazione rigorosa ma, piuttosto, preferisce lasciar sviluppare l'intuizione dei concetti, rimandando il rigore ad altri testi.

Consigliato a tutti quelli che devono studiare l'analisi matematica e fanno fatica a capire a che servono tutte queste derivate e integrali.
Molto utile come serbatoio di esempi interessanti e spesso non banali, risolubili con eleganza e semplicità.
Interessante anche per lo sviluppo di esempi classici in modo intuitivo, come la derivazione completa delle leggi di Keplero dagli assiomi di Newton.

Tra i testi moderni di topologia, è un classico. Diviso in due parti, la prima illustra le basi di topologia generale (continuità, spazi topologici e metrici, connessione, compattezza, contabilità, separazione, teorema di Tychonoff, metrizzazione e parametrizzazione, spazi funzionali e spazi di Baire), la seconda parte illustra i fondamenti di topologia algebrica dal punto di vista omotopico (gruppo fondamentale, separazione nel piano, teorema di Siefert-Van Kampen, classificazione delle superfici, classificazione degli spazi di copertura e alcune applicazioni a teoria dei gruppi).

Il testo richiede una buona intuizione matematica e qualche solida conoscenza di analisi e algebra, ma non assume che il lettore sia un esperto di questi settori. La trattazione è rigorosa ma sottolineando sempre la linea di ragionamento seguita nello sviluppo, quindi i risultati assumono immediatamente senso.

Rispetto ad altri testi di topologia, la seconda parte fa la differenza: la topologia algebrica è diventata uno strumento fondamentale per capire i risultati matematici a partire dalla seconda metà del ventesimo secolo; avere una idea del cosa sia questa disciplina e di come possa cogliere l'essenza di problemi complessi è interessante e il testo riesce a trasmettere bene questa attitudine. Pur mancando una introduzione all'approccio omologico (più difficile concettualmente, ma più semplice da applicare), il lettore riesce ad avere una visione chiara del perché la topologia algebrica consenta di rappresentare l'essenza di una forma nello spazio con una struttura algebrica. E questo apre la strada per intuire come i moderni sviluppi e risultati della Matematica siano stati possibili.

Contiene gli atti di una conferenza sulla teoria costruttiva dei tipi, ovvero per una visione degli insiemi strettamente costruttiva e predicativa. Forse è meglio qualche spiegazione...

Alcuni matematici non credono che certe dimostrazioni siano 'buone'; ad esempio, se io affermo che 'esiste un modo per tagliare una mela in un numero finito di fette in modo tale che reincollando opportunamente le fette ottengo DUE mele uguali a quella originale' molti di voi crederanno (1) che la mia sia una falsità, oppure (2) che sono in grado di fare miracoli (chi l'ha fatto ha usato pani e pesci, ma non cambia molto). Purtroppo, un topologo potrebbe dimostrare che questo enunciato è vero: la dimostrazione è per assurdo; se suppongo che sia falso, riesco a ottenere una contraddizione.

Un matematico costruttivo non accetta che si possa dimostrare un fatto per assurdo: se esiste un modo per tagliare e reincollare la mela, allora devo anche illustrarlo. [Si può dimostrare che tale metodo non esiste, quindi il teorema corrispondente è vero classicamente (dimostrazione per assurdo), ma falso costruttivamente (indimostrabile)]

Ebbene, questo libro illustra i fondamenti della più radicale corrente di pensiero costruttiva nel mondo della matematica, facendo vedere che gran parte di ciò che si deriva classicamente, può essere fatto anche costruttivamente, eccezion fatta per i 'miracoli'.

PS. Chi legge questo commento avrà capito che sono un matematico costruttivo!

E' un buon manuale introduttivo al calcolo delle probabilità. Molto "americano" come stile, ha il pregio della semplicità e una grande sovrabbondanza di esempi, che aiutano a chiarire questa sfuggente materia.

Adatto a chi abbia bisogno di imparare, studiare o rinfrescare le basi, il testo non si spinge molto in avanti, ma affronta in modo sistematico ed esteso gli argomenti di base. Come per tutti i testi americani, manca una solida trattazione teorica: questo aspetto, a seconda del lettore, può essere un difetto oppure un pregio.